Question

如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，若DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個中轉站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．
（1）求E應建在距A多遠處？
（2）DE和EC垂直嗎？試說明理由．

Answer 1

解：（1）設AE=x，則BE=25-x，
在Rt△ADE中，
DE²=AD²+AE²=10²+x²，
在Rt△BCE中，
CE²=BC²+BE²=15²+（25-x）²，
由題意可知：DE=CE，
所以：10²+x²=15²+（25-x）²，
解得：x=15．
所以E應建在距A點15km處；

（2）垂直，
∵在Rt△AED和Rt△BCE中，
∴Rt△AED≌Rt△BCE（HL），
∴∠AED=∠C，
∵CB⊥AB，
∴∠B=90°，
∴∠C+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∴DE⊥CE．
分析：（1）AE=x，則BE=25-x，=根據(jù)勾股定理可得DE²=AD²+AE²=10²+x²，CE²=BC²+BE²=15²+（25-x）²，由DE=CE可得10²+x²=15²+（25-x）²，再解方程即可；
（2）首先證明Rt△AED≌Rt△BCE，根據(jù)全等三角形的性質可得∠AED=∠C，再證明∠AED+∠BEC=90°，即可得到∠DEC=90°，進而得到DE和EC垂直．
點評：此題主要考查了勾股定理，以及全等三角形的判定與性質，關鍵是掌握勾股定理，表示出DE²和CE²．用方程思想計算出AE的長．