Question

4．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中直線CC′和AA′相交于點(diǎn)D．

（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)C′在AB邊上時(shí)，判斷線段AD和線段A′D之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出關(guān)系式不證明；
（2）將Rt△A′BC′由圖1的位置旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，
①求證：∠ACD=∠A′C′D；
②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）易證△BCC′和△BAA′都是等邊三角形，從而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，進(jìn)而可以證到AD=DC′=A′D．
（2）①易證∠ACD=45°，∠A′C′D=45°；②由旋轉(zhuǎn)可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′，得到△BCC′∽△BAA′，再由相似得出結(jié)論△BOC∽△DOA，△BOD∽△COA．∠ADB=90°即可．

解答 （1）AD=A′D．
證明：如圖1，

∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，BA=BA′．
∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等邊三角形．
∴∠BAA′=∠BC′C=60°．
∵∠A′C′B=90°，
∴∠DC′A′=30°．
∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
∴∠ADC′=60°．
∴∠DA′C′=30°．
∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．
∴AD=DC′，DC′=DA′．
∴AD=A′D．
（2）
①利用：∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，
∴∠BCD=∠BC′C=45°
∵∠ACB=90°，∠A′C′B=90°，
∴∠ACD=45°，∠A′C′D=45°
∴∠ACD=∠A′C′D，
②AD=A′D
證明：連接BD，如圖2，

由旋轉(zhuǎn)可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′．
∴$\frac{BC}{BC′}$=$\frac{BA}{BA′}$
∴△BCC′∽△BAA′．
∴∠BCC′=∠BAA′．
∵∠BOC=∠DOA，
∴△BOC∽△DOA．
∴∠ADO=∠OBC，
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{OC}{OA}$，
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA．
∴∠BDO=∠CAO．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∴∠BDO+∠ADO=90°，即∠ADB=90°．
∵BA=BA′，∠ADB=90°，
∴AD=A′D．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，判斷三角形相似是解本題的關(guān)鍵．