Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點（0，2）且平行于x軸的直線，與直線y=x-1交于點A，點A關(guān)于直線x=1的對稱點為B，拋物線C₁：y=x²+bx+c經(jīng)過點A，B．
（1）求點A，B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線C₁的表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；
（3）若拋物線C₂：y=ax²（a≠0）與線段AB恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)y=2時，則2=x-1，解得x=3，確定A（3，2），根據(jù)AB關(guān)于x=1對稱，所以B（-1，2）．
（2）把（3，2），（-1，2）代入拋物線C₁：y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{2=9+3b+c}\\{2=1-b+c}\end{array}\right.$，求出b，c的值，即可解答；
（3）畫出函數(shù)圖象，把A，B代入y=ax²，求出a的值，即可解答．

解答 解：（1）當(dāng)y=2時，則2=x-1，
解得：x=3，
∴A（3，2），
∵點A關(guān)于直線x=1的對稱點為B，
∴B（-1，2）．
（2）把（3，2），（-1，2）代入拋物線C₁：y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{2=9+3b+c}\\{2=1-b+c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-1}\end{array}\right.$
∴y=x²-2x-1．
頂點坐標(biāo)為（1，-2）．
（3）如圖，當(dāng)C₂過A點，B點時為臨界，

代入A（3，2）則9a=2，
解得：a=$\frac{2}{9}$，
代入B（-1，2），則a（-1）²=2，
解得：a=2，
∴$\frac{2}{9}≤a＜2$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解集本題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的解析式，并結(jié)合圖形解決問題．