Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△AOB為正三角形，點B的坐標為（2，0），點P是線段OB的三等分點．
（1）求經(jīng)過A、O兩點的直線AO的解析式；
（2）過點P作PC⊥AB，PD⊥AO，垂足分別為C、D，求PC+PD的值；
（3）在（2）的條件下，點E在x軸的負半軸上，作直線CE交AO于點F，且△ACF和△EOF的面積相等，求直線CE的解析式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得點A的坐標，點A的坐標求出以后，即可求得OA所在直線的解析式；
（2）已知PC⊥AB，PD⊥AO，可以根據(jù)勾股定理分別求得PC和PD的長度；
（3）根據(jù)S△ACF=S△EOF可得S_△ACF+S_四邊形OBCF=S_△EOF+S_{四邊形OBCF}，即S_△ABC=S_△BEC．過C點作CM⊥PB，垂足為M，設(shè)點P的坐標為（x，0），根據(jù)點P是線段OB的三等分點，分為兩種情況進行討論OP=

1

3

 OB或OP=

2

3

 OB，再根據(jù)三角形的面積公式求得點P和點C的坐標．

解答：解：（1）∵△AOB為正三角形，點B在x軸上且點B的坐標為（2，0），
∴A點在線段OB的垂直平分線上，
∴A點的橫坐標為1，
∴設(shè)點A的坐標為（1，y），
∵OA=OB=2
∴

12+y2

=2，
解得y₁=

3

，y₂=-

3

∴點A的坐標為（1，

3

）或（1，-

3

）；
∴經(jīng)過A、O兩點的直線AO的解析式為：y=±

3

x；
（2）根據(jù)三角形的面積公式可得S_△ABC=S_△AOP+S_△ABP，
即

1

2

 OB•AD=

1

2

 OA•PC+

1

2

AB•PD，因為AO=OB=AB，
所以AD=PC+PD，
所以PC+PD=

3

；
（3）∵S_△ACF=S_△EOF，
∴S_△ACF+S_四邊形OBCF=S_△EOF+S_{四邊形OBCF}，即S_△ABC=S_△BEC，
如圖，過C點作CM⊥PB，垂足為M，設(shè)點P的坐標為（x，0），

∵點P是線段OB的三等分點，
可分為兩種情況進行討論OP=

1

3

 OB或OP=

2

3

 OB，
①當AP=

1

3

 OB時，即AP=

2

3

，BP=2-

2

3

=

4

3

，
∵∠B=60°，PC⊥AB，可得BC=

2

3

，MB=

1

3

，
∴CM=

3

3

（勾股定理），
由S_△ABC=S_△BEC，即

1

2

 OB×AD=

1

2

 PB×CM，
得

1

2

×2×

3

=

1

2

×（2-x）×

1

2

，解得x=-4，
∴點P的坐標為（-4，0），
由MB=

1

3

，可得OM=OB-MB=

5

3

，故點C的坐標為（

5

3

，

3

3

 ）或（

5

3

，-

3

3

），
∴當點C的坐標為（

5

3

，

3

3

 ），直線CE的解析式為y=

3

17

（x+4），
當點C的坐標為（

5

3

，-

3

3

），直線CE的解析式為y=-

3

17

（x+4）；
②當AP=

2

3

 OB時，同理可求得OM=

11

6

，CM=

3

6

，x=-10，故點P的坐標為（-10，0），
故點C的坐標為（

11

6

，

3

6

）或（

11

6

，-

3

6

），
∴當點C的坐標為（

11

6

，

3

6

）時，直線CE的解析式為y=

3

71

（x+10）；
當點C的坐標為（

11

6

，-

3

6

）時，直線CE的解析式為y=-

3

71

（x+10）；
綜上可知直線CE的解析式為y=

3

17

（x+4）或y=-

3

17

（x+4）或y=

3

71

（x+10）或y=-

3

71

（x+10）．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析及等邊三角形、直角三角形等知識的綜合應(yīng)用，求函數(shù)解析式先求出點的坐標這是解題的常用方法，在求第（3）問時注意需要分點P是哪個三等分點來討論．