Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x²+mx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為D。

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點(diǎn)C，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為B₁，頂點(diǎn)為D₁，點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖象上，且滿足△PBB₁的面積是△PDD₁面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：由題意，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）， ∴OB=2， ∵tan∠OAB=2，即， ∴OA=1， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）， 又∵二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A， ∴0=12+m+2， 解得m=-3， ∴所求二次函數(shù)的解析式為； （2）由題意，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1）， 所求二次函數(shù)解析式為； （3）由（2），經(jīng)過平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移1個單位后所得的圖象，那么對稱軸直線不變，且， ∵點(diǎn)P在平移后所得二次函數(shù)圖象上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 在和中， ∵， ∴邊上的高是邊上的高的2倍， ①當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)時，，得x=3， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）； ②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)，同時在y軸的右側(cè)時，，得x=1， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）； ③點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時，x<0，又-x=，得x=3>0（舍去）， ∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（1，-1）。