Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，AB=2，M，N分別是棱C
C₁，AB中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱錐B₁-AMN的體積。

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)槿�棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC， 又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111220/20111220101110843914.gif">平面ABC， 所以， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111220/20111220101110921975.gif">，N是AB中點(diǎn)， 所以CN⊥AB， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111220/201112201011109371018.gif">， 所以CN⊥平面ABB1A1。
（Ⅱ）證明：取AB1的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG， 因?yàn)镹，G分別是棱AB，AB1中點(diǎn)， 所以， 又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111220/201112201011109681194.gif">， 所以CM∥NG，CM=NG， 所以四邊形CNGM是平行四邊形， 所以CN∥MG， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111220/201112201011110001294.gif">， 所以CN∥平面AMB1。
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知GM⊥平面， 所以。